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EL CATÁLOGO DE TODOS LOS CATÁLOGOS

Las matemáticas en "La biblioteca de Babel" F. Quirós Gracián (Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid)

Como todos los hombres de la Biblioteca, he viajado en mi juventud; he peregrinado en busca de un libro, acaso del catálogo de catálogos; ahora que mis ojos casi no pueden descifrar lo que escribo, me preparo a morir a unas pocas leguas del hexágono en que nací.

¿Qué es un catálogo? Un libro cuyo contenido es una lista de libros. Supongamos que existiera el catálogo de todos los catálogos. Sin duda tiene que ser un libro muy gordo. Así que podríamos intentar organizarlo en dos tomos: el catálogo de los catálogos que se contienen a sí mismos y el catálogo de los catálogos que no se contienen a si mismos. Fijémonos en este último catálogo. ¿En cuál de los dos tomos debe aparecer su nombre? No puede aparecer en el segundo, pues entonces se contendría a sí mismo. Pero tampoco puede aparecer en el primero. Si fuera así, no se contendría a sí mismo y su nombre debería, por tanto, figurar en el segundo tomo. ¡Aquí hay algo raro!

Estamos ante una versión de la famosa paradoja de Russell, que debe su nombre al famoso filósofo inglés Bertrand Russell (1872-1970). Veamos la versión original en palabras de su propio autor:

"Me parece que una clase a veces es, y a veces no es, un miembro de sí misma. La clase de las cucharitas de té, por ejemplo, no es otra cucharita de té, pero la clase de cosas que no son cucharitas de té es una de las cosas que no son cucharitas... [esto] me condujo a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y estas, parecía, debían formar una clase. Me pregunté si esta clase es o no un miembro de sí misma. Si es un miembro de sí misma, debería poseer las propiedades que definen a dicha clase, que consisten en no ser miembros de sí mismas. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por tanto debe ser un miembro de sí misma. Así cada alternativa lleva a su opuesta y existe una contradicción."

Otra forma de exponer la misma idea es mediante la paradoja del barbero, también de Russell: en un pueblo había un barbero que afeitaba a todos aquellos que nunca se afeitaban a sí mismos, y solo a ellos. ¿Se afeitaba el barbero a sí mismo?

¿Cuáles son los puntos delicados de nuestro razonamiento (y de los de Russell)? Hay dos afirmaciones que hemos hecho demasiado a la ligera, y podemos habernos equivocado:

·         Quizá no exista el catálogo de todos los catálogos;

·         O tal vez no se pueda formar el subcatálogo de todos los catálogos que no se contienen a sí mismos.

Si no existe el catálogo de todos los catálogos, estamos suprimiendo el llamado axioma de comprensión, que postula la existencia conjuntos de objetos que verifican una propiedad. Mientras que si no se puede formar el subcatálogo de todos los catálogos que no se contienen a sí mismos, lo que estamos eliminando es el axioma de separación, que postula que, si un conjunto existe, entonces podemos separar los elementos que cumplen cierta propiedad.

Las consecuencias de prescindir del axioma de separación (que es más débil) son mucho más dañinas que las de prescindir del axioma de comprensión. Esto último es lo que se hace en la teoría de conjuntos de Ernst Zermelo (1871-1953) y Adolf Fraenkel (1891-1953). Nótese que, sin axioma de comprensión, el catálogo de todos los catálogos no tiene por que existir, ni tampoco, por tanto, ningún subcatálogo suyo, con lo que eliminamos la paradoja (y todas las paradojas de tipo Russell).

¿Eliminar el axioma de comprensión no tiene consecuencias? Sí las tiene, y esto se manifestó en su momento de forma dramática. En la época en que Russell descubrió su paradoja, 1902, el matemático y lógico alemán Gottlob Frege (1846-1925) acababa de terminar el segundo volumen de su obra Las leyes fundamentales de la Aritmética , con la que, después de veinte años de trabajo, creía haber demostrado que toda la matemática se puede deducir de la lógica.

Desgraciadamente, en su trabajo usaba el axioma de comprensión. Así que podemos imaginar su estado de ánimo cuando recibió una carta de Russell en la que este le explicaba su paradoja.  El libro de Frege estaba acabándose de imprimir, pero el autor tuvo tiempo de incluir la siguiente nota al final del mismo:

Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación...

    Actualizado el 25/11/2009          Eres el visitante número                ¡En serio! Eres el número